Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

6.2. Первый закон термодинамики

6.2.2. Работа, совершаемая газом при различных процессах

Внутренняя энергия газа может изменяться в результате совершения газом работы и сообщения ему теплоты. Поэтому принято говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: о теплоте и работе.

Работа газа при произвольном процессе рассчитывается как площадь криволинейной трапеции под графиком p(V). На рис. 6.1 показана произвольная зависимость давления газа p от его объема V (объем газа в начальном состоянии V ₁; объем газа в конечном состоянии V ₂). Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом.

Рис. 6.1

Если зависимость p(V) представляет собой прямую линию, то работа численно равна площади прямолинейной трапеции.

В Международной системе единиц работа, совершаемая газом, измеряется в джоулях (1 Дж).

Работа газа при изобарном процессе (p = const) может быть вычислена по одной из формул:

A = p∆V, или A = νR∆T,

где p — давление газа; ΔV — изменение объема газа при переходе из начального в конечное состояние, ΔV = V ₂ − V ₁; V ₁ — объем газа в начальном состоянии; V ₂ — объем газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); ΔT — соответствующее изменение температуры газа, ΔT = T ₂ − T ₁; T ₁ — абсолютная температура начального состояния; T ₂ — абсолютная температура конечного состояния.

Работа газа при изохорном процессе (V = const) не совершается:

A = 0.

Работа газа при круговом (циклическом) процессе рассчитывается как площадь фигуры, ограниченной графиком функции p(V). На рис. 6.2 показан график произвольного кругового процесса; цифрами обозначены: 1 — исходное состояние идеального газа (оно совпадает с конечным); 2, 3 — промежуточные состояния газа.

Рис. 6.2

Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом при циклическом процессе.

Работа, совершаемая газом за цикл, может быть:

положительной (прямой цикл);
отрицательной (обратный цикл).

Пример 3. График циклического процесса, происходящего с некоторой массой идеального газа, в координатах p(V) имеет вид прямых, соединяющих точки (0,0250 м³; 75,0 кПа), (0,0750 м³; 125 кПа), (0,0750 м³; 75,0 кПа). Определить абсолютную величину работы, совершаемой газом за цикл.

Решение. На рисунке изображен график циклического процесса в указанных термодинамических координатах p(V).

Величина искомой работы равна площади треугольника, ограниченного прямыми, соединяющими указанные точки:

$A = \frac{1}{2} (125 - 75,0) \cdot 10^{3} \cdot (0,0750 - 0,0250) = 1,25 \cdot 10^{3} Дж = 1,25$ кДж.

Газ за цикл совершает работу 1,25 кДж.

Пример 4. Газ, состоящий из смеси 2,0 г водорода и 4,2 г гелия, при изобарном нагревании совершил работу 46 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа, если его начальная температура была равна 300 К? Молярные массы водорода и гелия равны 2,0 и 4,0 г/моль соответственно.

Решение. Запишем формулу для расчета работы смеси газов при изобарном процессе:

A = p∆V = p(V ₂ − V ₁),

где p — давление смеси газов (постоянная величина), p = const; V ₁ — объем смеси газов в начальном состоянии; V ₂ — объем смеси газов в конечном состоянии.

Давление смеси газов определяется законом Дальтона:

p = p ₁ + p ₂,

где p ₁ — парциальное давление водорода; p ₂ — парциальное давление гелия.

Давления указанных газов в смеси определяются следующими выражениями:

парциальное давление водорода

$p_{1} = \frac{m_{1}}{M_{1}} \frac{R T_{1}}{V_{1}}$ ,

где m ₁ — масса водорода; M ₁ — молярная масса водорода; T ₁ — температура смеси газов в начальном состоянии; V ₁ — объем смеси газов в начальном состоянии; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К);

парциальное давление гелия

$p_{2} = \frac{m_{2}}{M_{2}} \frac{R T_{1}}{V_{1}}$ ,

где m ₂ — масса гелия; M ₂ — молярная масса гелия.

Подстановка закона Дальтона и явного вида выражений для парциальных давлений водорода и гелия в формулу для работы, совершаемой смесью указанных газов, дает

$A = (p_{1} + p_{2}) (V_{2} - V_{1}) = (\frac{m_{1}}{M_{1}} \frac{R T_{1}}{V_{1}} + \frac{m_{2}}{M_{2}} \frac{R T_{1}}{V_{1}}) (V_{2} - V_{1})$ .

Преобразование данного уравнения к виду

$A = (\frac{m_{1}}{M_{1}} + \frac{m_{2}}{M_{2}}) \frac{R T_{1}}{V_{1}} (V_{2} - V_{1}) = (\frac{m_{1}}{M_{1}} + \frac{m_{2}}{M_{2}}) R T_{1} (\frac{V_{2}}{V_{1}} - 1)$

позволяет выразить искомое отношение объемов

$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{A}{(\frac{m_{1}}{M_{1}} + \frac{m_{2}}{M_{2}}) R T_{1}} + 1$ .

Вычислим:

$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{46 \cdot 10^{3}}{(\frac{2,0 \cdot 10^{- 3}}{2,0 \cdot 10^{- 3}} + \frac{4,2 \cdot 10^{- 3}}{4,0 \cdot 10^{- 3}}) \cdot 8,31 \cdot 300} + 1 = 10$ .

Следовательно, при совершении указанной работы объем смеси увеличился в 10 раз.

Физика