Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

6.2. Первый закон термодинамики

6.2.1. Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия любого вещества — это энергия теплового движения его молекул и энергия их взаимодействия между собой. Модель идеального газа предполагает отсутствие взаимодействия между его молекулами, поэтому внутренней энергией идеального газа принято считать только энергию теплового движения молекул. Внутренняя энергия газа представляет собой сумму кинетических энергий его молекул и определяется формулой

$U = N 〈 E_{k} 〉$ ,

где N — число молекул (атомов), N = νN _A; ν — количество вещества; N _A — постоянная (число) Авогадро, N _A = 6,02 ⋅ 10²³ моль^–1; $〈 E_{k} 〉$ — средняя кинетическая энергия одной молекулы, $〈 E_{k} 〉 = \frac{i}{2} k T$ ; i — число степеней свободы; k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10⁻²³ Дж/К; T — абсолютная температура.

Число степеней свободы зависит от количества атомов в молекуле газа и имеет следующие значения:

для одноатомного —

i = 3;

для двухатомного —

i = 5;

для трех- и многоатомного —

i = 6.

В Международной системе единиц внутренняя энергия вещества (газа) измеряется в джоулях (1 Дж).

Внутренняя энергия идеального газа определяется формулой

$U = \frac{i}{2} ν R T$ ,

где i — число степеней свободы; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — абсолютная (термодинамическая) температура вещества.

Внутренняя энергия для одно-, двух-, трех- и многоатомных газов определяется следующими формулами:

для одноатомного —

$U = \frac{3}{2} ν R T$ ;

для двухатомного —

$U = \frac{5}{2} ν R T$ ;

для трех- и многоатомного —

U = 3νRT.

Изменение внутренней энергии газа определяется разностью

ΔU = U ₂ − U ₁,

где U ₁ — внутренняя энергия начального состояния газа; U ₂ — внутренняя энергия конечного состояния газа.

Изменение внутренней энергии газа связано с изменением кинетической энергии движения его молекул. Изменение кинетической энергии движения молекул вещества, в свою очередь, связано с изменением температуры. Следовательно, изменение внутренней энергии газа определяется изменением его температуры.

Изменение внутренней энергии идеального газа рассчитывается по формуле

$Δ U = \frac{i}{2} ν R (T_{2} - T_{1}) = \frac{i}{2} ν R Δ T$ ,

где i — число степеней свободы; ν — количество вещества; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T ₂ — абсолютная температура конечного состояния газа; T ₁ — абсолютная температура начального состояния идеального газа; ∆T = T ₂ − T ₁.

Изменение внутренней энергии для одно-, двух-, трех- и многоатомных газов определяется следующими формулами:

для одноатомного —

$Δ U = \frac{3}{2} ν R Δ T$ ;

для двухатомного —

$Δ U = \frac{5}{2} ν R Δ T$ ;

для трех- и многоатомного —

∆U = 3νR∆T.

Изменение внутренней энергии газа ΔU при различных процессах также различно и показано в таблице (для одно-, двух-, трех- и многоатомных газов):

Процесс	Одноатомный газ, i = 3	Двухатомный газ, i = 5	Трех- и многоатомный газ, i = 6
Изотермический T = const	0	0	0
Изохорный V = const	$\frac{3}{2} ν R Δ T$	$\frac{5}{2} ν R Δ T$	3νR∆T
Изобарный P = const	$\frac{3}{2} ν R Δ T$	$\frac{5}{2} ν R Δ T$	3νR∆T
Циклический	0	0	0

Внутренняя энергия газа не изменяется (U = const):

при изотермическом процессе, так как ΔT = 0;
при циклическом процессе, так как в конце процесса газ возвращается в состояние с исходными параметрами; циклическим (круговым, замкнутым) процессом, или циклом, называется процесс, при котором газ, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное.

Пример 1. В ходе некоторого процесса давление и объем постоянной массы идеального одноатомного газа изменяются таким образом, что pV ² = const, где p — давление в паскалях; V — объем в кубических метрах. Во сколько раз уменьшается внутренняя энергия газа при увеличении его объема в 3 раза?

Решение. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется следующей формулой:

для начального состояния газа —

$U_{1} = \frac{3}{2} ν R T_{1}$ ,

где ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T ₁ — температура газа в начальном состоянии;

для конечного состояния газа —

$U_{2} = \frac{3}{2} ν R T_{2}$ ,

где T ₂ — температура газа в конечном состоянии.

Искомым является отношение

$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{3 ν R T_{1}}{2} \cdot \frac{2}{3 ν R T_{2}} = \frac{T_{1}}{T_{2}}$ .

Найдем отношение температур.

Для этого из уравнения Менделеева — Клапейрона

pV = νRT

выразим давление

$p = \frac{ν R T}{V}$

и подставим полученное выражение в заданный в условии задачи закон:

$\frac{ν R T}{V} \cdot V^{2} = ν R T V = const$ , или TV = const.

Заданное в условии соотношение между давлением и объемом эквивалентно полученному соотношению между температурой и объемом.

Для двух состояний газа справедливо тождество

T ₁V ₁ = T ₂V ₂,

где V ₁ — объем газа в начальном состоянии; V ₂ — объем газа в конечном состоянии.

Отсюда следует, что отношение температур определяется выражением

$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{V_{2}}{V_{1}}$ ,

а искомое отношение внутренних энергий газа равно

$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} = 3$ .

Пример 2. Термоизолированный сосуд, содержащий некоторое количество водорода, движется со скоростью 250 м/с. Как изменится температура газа, если сосуд внезапно остановить? Молярная масса водорода равна 2,0 г/моль. Теплоемкостью сосуда пренебречь.

Решение. Энергия газа в сосуде определяется суммой:

для движущегося сосуда —

E ₁ = U ₁ + W _k ₁,

где U ₁ — внутренняя энергия водорода (двухатомного газа) в движущемся сосуде (энергия теплового движения молекул водорода), U ₁ = 5νRT ₁/2; ν — количество водорода, ν = m/M; m — масса водорода; M — молярная масса водорода, M = 2,0 г/моль; T ₁ — начальная температура водорода; R — универсальная газовая постоянная, R = = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); W _k ₁ — кинетическая энергия водорода, движущегося вместе с сосудом, W _k ₁ = mv ²/2; v — скорость сосуда, v = 250 м/с;

для остановившегося сосуда —

E ₂ = U ₂ + W _k ₂,

где U ₂ — внутренняя энергия водорода (двухатомного газа) в остановившемся сосуде, U ₂ = 5νRT ₂/2; T ₂ — конечная температура водорода; W _k ₂ — кинетическая энергия водорода, остановившегося вместе с сосудом, W _k ₂ = 0.

По условию задачи обмена энергией между газом в сосуде и окружающей средой не происходит, так как сосуд является термоизолированным; поэтому энергия газа сохраняется

E ₁ = E ₂,

или, в явном виде, —

U ₁ + W _k ₁ = U ₂ + W _k ₂.

Подстановка в полученное равенство выражений для внутренней и кинетической энергий газа в сосуде дает

$\frac{5 m R T_{1}}{2 M} + \frac{m v^{2}}{2} = \frac{5 m R T_{2}}{2 M}$ .

Искомая разность температур определяется формулой

$Δ T = \frac{v^{2} M}{5 R}$ .

Вычислим:

$Δ T = \frac{{(250)}^{2} \cdot 2,0 \cdot 10^{- 3}}{5 \cdot 8,31} = 3,0$ К.

При внезапной остановке сосуда, движущегося с указанной скоростью, температура содержащегося в нем водорода повышается на 3,0 К.

Физика