Физика

Пример 21. Кольцо, изготовленное из проволоки с удельным сопротивлением 50,0 ⋅ 10⁻¹⁰ Ом ⋅ м, находится в однородном магнитном поле с индукцией 250 мТл. Длина проволоки равна 1,57 м, а площадь ее поперечного сечения составляет 0,100 мм². Какой максимальный заряд пройдет по кольцу при выключении поля?

Решение. Появление ЭДС индукции в кольце вызвано изменением потока вектора индукции, пронизывающего плоскость кольца, при выключении магнитного поля.

Поток индукции магнитного поля через площадь кольца определяется формулами:

• до выключения магнитного поля

Ф₁ = B ₁S cos α,

где B ₁ — первоначальное значение модуля индукции магнитного поля, B ₁ = 250 мТл; S — площадь кольца; α — угол между направлениями вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра) к плоскости кольца;

• после выключения магнитного поля

Ф₂ = B ₂S cos α = 0,

где B ₂ — значение модуля индукции после выключения магнитного поля, B ₂ = 0.

Изменение потока вектора индукции магнитного поля определяется разностью

∆Ф = Ф₂ − Ф₁ = −Ф₁,

или, с учетом явного вида Ф₁,

∆Ф = −B ₁S cos α.

Среднее значение ЭДС индукции, возникающей в кольце при выключении поля,

$\left|{ℰ}_i\right|=\left|\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}\right|=\left|\frac{-B_{1}S\cos \alpha }{\Delta t}\right|=\frac{B_{1}S\left|\cos \alpha \right|}{\Delta t}$,

где ∆t — интервал времени, за который происходит выключение поля.

Наличие ЭДС индукции приводит к появлению индукционного тока; сила индукционного тока определяется законом Ома:

$I_i=\frac{\left|{ℰ}_i\right|}{R}=\frac{B_{1}S\left|\cos \alpha \right|}{R\Delta t}$,

где R — сопротивление кольца.

При протекании индукционного тока по кольцу переносится индукционный заряд

$q_i=I_i\Delta t=\frac{B_{1}S\left|\cos \alpha \right|}{R}$.

Максимальному значению заряда соответствует максимальное значение функции косинус (cos α = 1):

$q_i^{\text{max}}=I_i\Delta t=\frac{B_{1}S}{R}$.

Полученная формула определяет максимальное значение заряда, который пройдет по кольцу при выключении поля.

Однако для расчета заряда необходимо получить выражения, которые позволят найти площадь кольца и его сопротивление.

Площадь кольца — площадь круга радиусом r, периметр которого определяется формулой длины окружности и совпадает с длиной проволоки, из которой изготовлено кольцо:

l = 2πr,

где l — длина проволоки, l = 1,57 м.

Отсюда следует, что радиус кольца определяется отношением

$r=\frac{l}{2\pi }$,

а его площадь —

$S=\pi r^2=\frac{\pi l^2}{4{\pi }^2}=\frac{l^2}{4\pi }$.

Сопротивление кольца задается формулой

$R=\frac{\rho l}{S_0}$,

где ρ — удельное сопротивление материала проволоки, ρ = 50,0 × × 10⁻¹⁰ Ом ⋅ м; S ₀ — площадь поперечного сечения проволоки, S ₀ = = 0,100 мм².

Подставим полученные выражения для площади кольца и его сопротивления в формулу, определяющую искомый заряд:

$q_i^{\text{max}}=\frac{B_1{l}^2{S}_0}{4\pi \rho l}=\frac{B_{1}l{S}_0}{4\pi \rho }$.

Вычислим:

$q_i^{\text{max}}=\frac{250\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{1,57}\cdot \mathrm{0,100}\cdot {10}^{-6}}{4\cdot \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{50,0}\cdot {10}^{-10}}=\mathrm{0,625}\text{ Кл}=625\text{ мКл}$.

При выключении поля по кольцу проходит заряд, равный 625 мКл.

Пример 22. Контур площадью 2,0 м² и сопротивлением 15 мОм находится в однородном магнитном поле, индукция которого возрастает на 0,30 мТл в секунду. Найти максимально возможную мощность индукционного тока в контуре.

Решение. Появление ЭДС индукции в контуре вызвано изменением потока вектора индукции, пронизывающего плоскость контура, при изменении индукции магнитного поля с течением времени.

Изменение потока вектора индукции магнитного поля определяется разностью

∆Ф = ∆BS cos α,

где ∆B — изменение модуля индукции магнитного поля за выбранный интервал времени; S — площадь, ограниченная контуром, S = 2,0 м²; α — угол между направлениями вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра) к плоскости контура.

Среднее значение ЭДС индукции, возникающей в контуре, при изменении индукции магнитного поля:

$\left|{ℰ}_i\right|=\left|\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}\right|=\left|\frac{\Delta BS\cos \alpha }{\Delta t}\right|=\frac{\Delta BS\left|\cos \alpha \right|}{\Delta t}$,

где ∆B/∆t — скорость изменения модуля вектора индукции магнитного поля с течением времени, ∆B/∆t = 0,30 мТл/с.

Появление ЭДС индукции приводит к появлению индукционного тока; сила индукционного тока определяется законом Ома:

$I_i=\frac{\left|{ℰ}_i\right|}{R}=\frac{\Delta BS\left|\cos \alpha \right|}{R\Delta t}$,

где R — сопротивление контура.

Мощность индукционного тока

$P_i=I_i^{2}R={\left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)}^2\frac{S^{2}R{\cos }^2\alpha }{R^2}={\left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)}^2\frac{S^2{\cos }^2\alpha }{R}$.

Максимальному значению мощности индукционного тока соответствует максимальное значение функции косинус (cos α = 1):

$P_i^{\max }={\left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)}^2\frac{S^2}{R}$.

Вычислим:

$P_i^{\text{max}}=\frac{{(\mathrm{0,30}\cdot {10}^{-3})}^2{\left(\mathrm{2,0}\right)}^2}{15\cdot {10}^{-3}}=24\cdot {10}^{-6}\text{ Вт}=24\text{ мкВт}$.

Максимальная мощность индукционного тока в данном контуре равна 24 мкВт.