Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

9.3. Действие магнитного поля на физические объекты

9.3.2. Движение заряда в магнитном поле

Траектория движения заряженных частиц в магнитном поле зависит от угла между векторами скорости частицы и индукции магнитного поля.

1. Если заряженная частица влетает в магнитное поле параллельно линиям индукции магнитного поля (рис. 9.9), т.е. $\vec{v} ↑ ↑ \vec{B}$ или $\vec{v} ↑ ↓ \vec{B}$ , то она продолжает двигаться по прямой линии с прежней скоростью.

Рис. 9.9

2. Если заряженная частица влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, т.е. $\vec{v} ⊥ \vec{B}$ , то она начинает двигаться по окружности постоянного радиуса с постоянной по модулю скоростью (рис. 9.10).

Рис. 9.10

Равнодействующая сил, действующих на частицу, при движении по окружности является центростремительной силой. Сила Лоренца в данном случае является единственной силой (следовательно, она равна центростремительной силе), поэтому справедлива следующая система уравнений:

$\begin{array}{l} F_{ц . с} = F_{Л}, \\ F_{Л} = q v B, \\ F_{ц . с} = \frac{m v^{2}}{R}, \end{array}}$

где q — величина заряда частицы; v — модуль скорости частицы; B — модуль индукции магнитного поля; m — масса заряженной частицы; R — радиус окружности, по которой движется частица.

При решении задач о движении заряженной частицы по окружности в магнитном поле полезны следующие формулы связи между величинами:

модуля линейной скорости частицы v c ее угловой скоростью ω (циклической частотой):

v = ωR,

где R — радиус окружности;

угловой скорости (циклической частоты) ω с частотой вращения частицы по окружности ν:

ω = 2πν;

периода обращения T с частотой вращения частицы по окружности ν:

$T = \frac{1}{ν}$ ;

периода обращения T с длиной окружности и скоростью частицы:

$T = \frac{2 π R}{v}$ ,

где 2πR — длина окружности; v — модуль скорости частицы;

количества полных оборотов с периодом обращения

$n = \frac{t}{T}$ ,

где t — время движения частицы; T — период обращения частицы по окружности.

3. Если заряженная частица влетает в магнитное поле под острым углом к линиям индукции магнитного поля, то ее траектория представляет собой спираль, «нанизывающуюся» на силовую линию поля (рис. 9.11).

Рис. 9.11

За один оборот заряженная частица смещается вдоль силовой линии поля на некоторое расстояние h; данное расстояние называют шагом спирали. Шаг спирали рассчитывается по формуле

h = 2πR ctg α,

где R — радиус витка спирали; α — угол между вектором скорости частицы и вектором индукции магнитного поля.

При решении задач о движении заряженной частицы по спирали в магнитном поле целесообразно разложить вектор скорости частицы на составляющие (рис. 9.12), направленные:

Рис. 9.12

вдоль вектора индукции магнитного поля ${\vec{v}}_{| |}$ —

v _|| = v cos α;

перпендикулярно вектору индукции магнитного поля ${\vec{v}}_{⊥}$ —

v _⊥ = v sin α,

где v _|| — величина параллельной составляющей скорости; v _⊥ — величина перпендикулярной составляющей скорости; v — модуль скорости частицы; α — угол между векторами скорости частицы и индукции магнитного поля.

С помощью приведенного выше разложения скорости на составляющие некоторые формулы упрощаются и легко поддаются запоминанию:

шаг спирали — расстояние, которое проходит частица со скоростью ${\vec{v}}_{| |}$ за время T:

h = v _||T,

где T — период вращения;

период обращения — время одного оборота частицы по окружности радиуса R со скоростью ${\vec{v}}_{⊥}$ :

$T = \frac{2 π R}{v_{⊥}}$ .

Пример 4. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом 30° к линиям индукции и движется по спирали. Определить радиус спирали, если за один ее оборот частица смещается вдоль линий индукции на 11 см.

Решение. Расстояние, которое проходит заряженная частица за один оборот вдоль силовой линии магнитного поля, — это шаг спирали h:

h = v _||T,

где v _|| — модуль составляющей скорости частицы вдоль направления силовых линий; T — период обращения.

Вдоль силовой линии поля частица движется со скоростью, модуль которой определяется формулой

v _|| = v cos α,

где v — модуль скорости частицы; α — угол между векторами скорости и индукции магнитного поля, α = 30°.

Период обращения частицы — время одного оборота заряженной частицы в магнитном поле:

$T = \frac{2 π R}{v_{⊥}}$ ,

где R — радиус окружности; v _⊥ — модуль составляющей скорости частицы вдоль направления, перпендикулярного направлению силовых линий.

На рисунке показаны направления скорости частицы, силовой линии магнитного поля и разложение вектора скорости на составляющие:

$\vec{v} = {\vec{v}}_{| |} + {\vec{v}}_{⊥}$ .

Модуль составляющей скорости на направление, перпендикулярное силовым линиям магнитного поля, определяется формулой

$v_{⊥} = v \sin α$ .

Подстановка v _⊥ в выражение для периода обращения частицы дает

$T = \frac{2 π R}{v \sin α}$ .

Запишем формулу для шага спирали с учетом явного вида входящих в нее величин:

h = v _||T

за время T —

$h = \frac{2 π R \cos α}{\sin α} = 2 π R ctg α$ .

Отсюда следует выражение для расчета искомой величины — радиуса спирали, по которой движется частица в магнитном поле:

$R = \frac{h}{2 π ctg α}$ .

Вычислим:

$R = \frac{11 \cdot 10^{- 2}}{2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \cdot 10^{- 3} = 10$ мм.

Заряженная частица движется по окружности, радиус которой приблизительно равен 10 мм.

Физика