Физика

Пример 8. ЭДС источника тока равна 18 В. К источнику подключен резистор, сопротивление которого в 2 раза больше внутреннего сопротивления источника. Определить разность потенциалов на зажимах источника тока.

Решение. Разность потенциалов на зажимах источника определяется формулой

U = ℰ − Ir,

где ℰ — ЭДС источника тока; I — сила тока в цепи; r — внутреннее сопротивление источника тока.

Сила тока определяется законом Ома для полной цепи:

$I=\frac{ℰ}{R+r}$,

где R — сопротивление резистора.

Подставим данное выражение в формулу для вычисления разности потенциалов на зажимах источника:

$U=ℰ-\frac{ℰr}{R+r}=ℰ\left(1-\frac{r}{R+r}\right)=\frac{ℰR}{R+r}$.

С учетом соотношения между сопротивлениями резистора и источника (R = 2r) получим

$U=\frac{2ℰ}{3}$.

Расчет дает значение:

$U=\frac{2\cdot 18}{3}=12$ В.

Разность потенциалов на зажимах источника составляет 12 В.

Пример 9. Внутреннее сопротивление батареи составляет 1,5 Ом. При замыкании на резистор сопротивлением 6,0 Ом батарея элементов дает ток силой 1,0 А. Найти силу тока короткого замыкания.

Решение. Сила тока короткого замыкания определяется формулой

$i=\frac{ℰ}{r}$,

где ℰ — ЭДС источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.

По закону Ома для полной цепи,

$I=\frac{ℰ}{R+r}$,

где R — сопротивление резистора.

Выразим из записанной формулы ЭДС источника и подставим в выражение для силы тока короткого замыкания:

$i=\frac{I(R+r)}{r}$.

Произведем вычисление:

$i=\frac{\mathrm{1,0}\cdot (\mathrm{6,0}+\mathrm{1,5})}{\mathrm{1,5}}=\mathrm{5,0}$ А.

Сила тока короткого замыкания для источника с указанными значениями ЭДС и внутреннего сопротивления составляет 5,0 А.

Пример 10. Шесть одинаковых резисторов по 20 Ом каждый соединены в цепь так, как показано на рисунке. К концам участка подключают источник с ЭДС, равной 230 В, и внутренним сопротивлением 2,5 Ом. Найти показания амперметра A2.

Решение. На рис. а показана схема цепи, на которой обозначены токи, протекающие в отдельных ее участках.

На участке сопротивлением R ₁ течет ток I ₁. Далее ток I ₁ разветвляется на две части:

• на участке с последовательно соединенными резисторами сопротивлениями R ₂, R ₃ и R ₄ течет ток I ₂;
• на участке сопротивлением R ₅ течет ток I ₃.

Таким образом,

I ₁ = I ₂ + I ₃.

Указанные участки соединены между собой параллельно, поэтому падения напряжения на них одинаковы:

I ₂R _общ2 = I ₃R ₅,

где R _общ2 — сопротивление участка с последовательно соединенными резисторами R ₂, R ₃ и R ₄, R _общ2 = R ₂ + R ₃ + R ₄ = 3R, R ₂ = R ₃ = R ₄ = R, R ₅ = R.

Записанные уравнения образуют систему:

$\begin{array}{l}{I}_1=I_2+I_3,\\ I_2{R}_{\text{общ}2}=I_3{R}_5.\end{array}\}$

С учетом выражений для R _общ2 и R ₅ система принимает вид:

$\begin{array}{l}{I}_1=I_2+I_3,\\ 3I_2=I_3.\end{array}\}$

Решение системы относительно силы тока I ₂ дает

$I_2=\frac{I_1}{4}=\mathrm{0,25}{I}_1$.

Данное выражение определяет искомую величину — силу тока в амперметре A2.

Сила тока I ₁ определяется законом Ома для полной цепи:

$I_1=\frac{ℰ}{R_{\text{общ}}+r}$,

где R _общ — общее сопротивление внешней цепи (резисторов R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, R ₅ и R ₆).

Рассчитаем общее сопротивление внешней цепи.

Для этого преобразуем схему так, как показано на рис. б.

Участки R _общ2 и R ₅ соединены параллельно, их общее сопротивление

$R_{\text{общ}1}=\frac{R_{\text{общ}2}{R}_4}{R_{\text{общ}2}+R_4}=\frac{3R}{4}=\mathrm{0,75}R$,

где R _общ2 = 3R; R ₄ = R.

Еще раз преобразуем схему так, как показано на рис. в.

Участки сопротивлениями R ₁, R _общ1 и R ₆ соединены последовательно, их общее сопротивление

$R_{\text{общ}}=R_1+R_{\text{общ}1}+R_6=R+\mathrm{0,75}R+R=\mathrm{2,75}R$,

где R _общ1 = 0,75R и R ₁ = R ₆ = R.

Искомая сила тока определяется формулой

$I_2=\mathrm{0,25}{I}_1=\frac{\mathrm{0,25}ℰ}{\mathrm{2,75}R+r}$.

Произведем вычисление:

$I_2=\frac{\mathrm{0,25}\cdot 230}{\mathrm{2,75}\cdot 20+\mathrm{2,5}}=\mathrm{1,0}$ А.

Амперметр А2 покажет силу тока 1,0 А.

Пример 11. Шесть одинаковых резисторов по 20 Ом каждый и два конденсатора с электроемкостями 15 и 25 мкФ соединены в цепь так, как показано на рисунке. К концам участка подключают источник с ЭДС, равной 0,23 кВ, и внутренним сопротивлением 3,5 Ом. Найти разность потенциалов между обкладками второго конденсатора.

Решение. Между точками A и Б ток не протекает, так как между этими точками в схему включены конденсаторы. Для определения разности потенциалов между указанными точками упростим схему, исключив из рассмотрения участок АБ.

На рис. а показана схема упрощенной цепи.

Ток течет через резисторы R ₁, R ₂, R ₃, R ₄ и R ₆, соединенные последовательно. Общее сопротивление такой цепи:

R _общ = R ₁ + R ₂ + R ₃ + R ₄ + R ₆ = 5R,

где R ₁ = R ₂ = R ₃ = R ₄ = R ₆ = R.

Сила тока I определяется законом Ома для полной цепи:

$I=\frac{ℰ}{R_{\text{общ}}+r}=\frac{ℰ}{5R+r}$,

где ℰ — ЭДС источника тока, ℰ = 0,23 кВ; r — внутреннее сопротивление источника тока, r = 3,5 Ом; R _общ — общее сопротивление цепи, R _общ = 5R.

Рассчитаем падение напряжения между точками А и Б.

Между точками А и Б находятся резисторы сопротивлениями R ₂, R ₃ и R ₄, соединенные между собой последовательно, как показано на рис. б.

Их общее сопротивление

R _общ1 = R ₂ + R ₃ + R ₄ = 3R.

Падение напряжения на указанных резисторах определяется формулой

U _АБ = IR _общ1,

или в явном виде, —

$U_{\text{АБ}}=\frac{3ℰR}{5R+r}$.

Между точками А и Б включена батарея конденсаторов C ₁ и C ₂, соединенных между собой последовательно, как показано на рис. в.

Их общая электроемкость

$C_{\text{общ}}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$,

где C ₁ — электроемкость первого конденсатора, C ₁ = 15 мкФ; C ₂ — электроемкость второго конденсатора, C ₂ = 25 мкФ.

Разность потенциалов на обкладках батареи:

$U_{\text{общ}}=\frac{q}{C_{\text{общ}}}$,

где q — заряд на обкладках каждого из конденсаторов (совпадает с зарядом батареи при последовательном соединении конденсаторов), q = = C ₁U ₁ = C ₂U ₂; U ₁ — разность потенциалов между обкладками первого конденсатора; U ₂ — разность потенциалов между обкладками второго конденсатора (искомая величина).

В явном виде разность потенциалов между обкладками конденсаторов определяется формулой

$U_{\text{общ}}=\frac{C_2{U}_2}{C_{\text{общ}}}=\frac{(C_1+C_2)U_2}{C_1}$.

Падение напряжения на резисторах между точками А и Б совпадает с разностью потенциалов на батарее конденсаторов, подключенной к указанным точкам:

U _АБ = U _общ.

Данное равенство, записанное в явном виде

$\frac{3ℰR}{5R+r}=\frac{(C_1+C_2)U_2}{C_1}$,

позволяет получить выражение для искомой величины:

$U_2=\frac{3ℰR{C}_1}{(5R+r)(C_1+C_2)}$.

Произведем вычисление:

$U_2=\frac{3\cdot \mathrm{0,23}\cdot {10}^3\cdot 20\cdot 15\cdot {10}^{-6}}{(5\cdot 20+\mathrm{3,5})(15+25)\cdot {10}^{-6}}=50$ В.

Между обкладками второго конденсатора разность потенциалов составляет 50 В.