Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

6.4. Теплообмен между телами

6.4.1. Теплоемкость тела, удельная теплоемкость вещества, молярная теплоемкость вещества

Для того чтобы повысить температуру тела, ему необходимо сообщить некоторое количество теплоты.

Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг данного вещества на 1 К, называется удельной теплоемкостью вещества и вычисляется по формуле

$c_{уд} = \frac{Q}{m Δ T}$ ,

где Q — количество теплоты, необходимое для нагревания некоторой массы вещества; m — масса вещества; ΔT — изменение температуры вещества при нагревании.

В Международной системе единиц удельная теплоемкость вещества измеряется в джоулях, деленных на килограмм-кельвин (1 Дж/(кг ⋅ К)).

Количество теплоты, необходимое для нагревания некоторой массы вещества, определяется произведением

Q = c _удm∆T.

Количество теплоты, необходимое для нагревания данного тела на 1 К, называется теплоемкостью тела и вычисляется по формуле

$C = \frac{Q}{Δ T}$ ,

где Q — количество теплоты, необходимое для нагревания данного тела; ΔT — изменение температуры тела при нагревании.

В Международной системе единиц теплоемкость тела измеряется в джоулях, деленных на кельвин (1 Дж/К).

Количество теплоты, необходимое для нагревания некоторого тела, определяется произведением

Q = CΔT,

где C — теплоемкость тела.

Теплоемкость тела и теплоемкость вещества, из которого состоит данное тело, связаны между собой выражением

C = mc _уд,

где C — теплоемкость тела; m — масса тела; c _уд — удельная теплоемкость вещества, из которого изготовлено это тело.

Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моль данного вещества на 1 К, называется молярной теплоемкостью вещества и вычисляется по формуле

$c_{μ} = \frac{Q}{ν Δ T}$ ,

где Q — количество теплоты, необходимое для нагревания некоторого количества вещества; ν — количество вещества; ΔT — изменение температуры указанного количества вещества при нагревании.

В Международной системе единиц молярная теплоемкость вещества измеряется в джоулях на моль-кельвин (1 Дж/(моль ⋅ К)).

Количество теплоты, необходимое для нагревания некоторого количества вещества, определяется произведением

Q = c _µνΔT.

Молярная и удельная теплоемкости вещества связаны между собой выражением

c _µ = Mс _уд,

где c _µ — молярная теплоемкость вещества; M — молярная масса вещества; с _уд — удельная теплоемкость вещества.

Пример 14. Железный и свинцовый шарики имеют одинаковые диаметры. Во сколько раз теплоемкость железного шарика больше теплоемкости свинцового? Удельные теплоемкости железа и свинца равны 0,46 и 0,13 кДж/(кг ⋅ К), а плотности — 7,80 и 11,5 г/см³ соответственно.

Решение. Теплоемкости шариков определяются следующими формулами:

железного шарика —

C ₁ = m ₁c _уд1,

где m ₁ — масса железного шарика; c _уд1 — удельная теплоемкость железа;

свинцового шарика —

C ₂ = m ₂c _уд2,

где m ₂ — масса свинцового шарика; c _уд2 — удельная теплоемкость свинца.

Искомым является отношение теплоемкостей:

$\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{m_{1} c_{уд 1}}{m_{2} c_{уд 2}}$ ,

которое определяется отношением масс железного и свинцового шариков и отношением удельных теплоемкостей железа и свинца.

Массы шариков определяются их размерами и плотностью:

железного шарика —

m ₁ = ρ₁V ₁,

где ρ₁ — плотность железа; V ₁ — объем железного шарика;

свинцового шарика —

m ₂ = ρ₂V ₂,

где ρ₂ — плотность свинца; V ₂ — объем свинцового шарика.

Шарики имеют одинаковые диаметры, поэтому их объемы одинаковы:

$V_{1} = V_{2} = V = \frac{π d^{2}}{6}$ ,

где d — диаметры железного и свинцового шариков.

С учетом последнего обстоятельства отношение масс равно:

$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{ρ_{1} V_{1}}{ρ_{2} V_{2}} = \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}}$ .

Подставим m ₁/m ₂ в формулу для отношения теплоемкостей железного и свинцового шариков:

$\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{ρ_{1} c_{уд 1}}{ρ_{2} c_{уд 2}}$ .

Произведем вычисление:

$\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{7,80 \cdot 10^{3} \cdot 0,46 \cdot 10^{3}}{11,5 \cdot 10^{3} \cdot 0,13 \cdot 10^{3}} = 2,4$ .

Теплоемкость железного шарика превышает в 2,4 раза теплоемкость свинцового шарика.

Пример 15. При изготовлении смеси в бункер засыпали некоторую массу песка и вчетверо большую массу цемента. Удельные теплоемкости цемента и песка равны 810 и 960 Дж/(кг ⋅ К) соответственно. Определить удельную теплоемкость смеси.

Решение. Удельная теплоемкость смеси определяется формулой

$c_{уд} = \frac{Q}{m Δ T}$ ,

где Q — количество теплоты, необходимое для того, чтобы повысить температуру смеси на ΔT; m — масса смеси.

Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси, —

Q = Q ₁ + Q ₂,

где Q ₁ — количество теплоты, необходимое для нагревания песка, входящего в состав смеси, на ΔT; Q ₂ — количество теплоты, необходимое для нагревания цемента, входящего в состав смеси, на ΔT.

Количество теплоты, необходимое для нагревания:

песка —

Q ₁ = c _уд1m ₁∆T,

где c _уд1 — удельная теплоемкость песка; m ₁ — масса песка;

цемента —

Q ₂ = c _уд2m ₂∆T,

где c _уд2 — удельная теплоемкость цемента; m ₂ — масса цемента.

Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси песка и цемента, определяется выражением

$Q = c_{уд 1} m_{1} Δ T + c_{уд 2} m_{2} Δ T = (c_{уд 1} m_{1} + c_{уд 2} m_{2}) Δ T$ .

Масса смеси есть сумма масс песка и цемента:

m = m ₁ + m ₂.

Подставим полученные выражения для количества теплоты и массы смеси в формулу удельной теплоемкости смеси:

$c_{уд} = \frac{(c_{уд 1} m_{1} + c_{уд 2} m_{2}) Δ T}{(m_{1} + m_{2}) Δ T} = \frac{c_{уд 1} m_{1} + c_{уд 2} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ .

Произведем преобразование полученного выражения с учетом соотношения масс:

m ₂ = 4m ₁, т.е. $c_{уд} = \frac{c_{уд 1} m_{1} + 4 c_{уд 2} m_{1}}{m_{1} + 4 m_{1}} = \frac{c_{уд 1} + 4 c_{уд 2}}{5}$ .

Расчет дает значение:

$c_{уд} = \frac{960 + 4 \cdot 810}{5} = 840$ Дж/(кг ⋅ К).

Следовательно, удельная теплоемкость смеси составляет 840 Дж/(кг ⋅ К).

Физика