Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

6.3. Второй закон термодинамики

6.3.2. Коэффициент полезного действия произвольного цикла

Круговой процесс (цикл) всегда состоит из нескольких процессов, в том числе и изопроцессов.

Согласно первому началу термодинамики, в каждом из таких процессов газом может совершаться работа и может изменяться его внутренняя энергия. Теплота, полученная или отданная газом в каждом процессе, будет различной.

В таблице отражены расчетные формулы, условные обозначения и нулевые значения для работы, изменения внутренней энергии и теплоты, полученной газом в некоторых процессах.

Название процесса	Работа, совершенная газом, A	Изменение внутренней энергии газа, ΔU	Количество теплоты, полученной газом, Q = A + ΔU
Изотермический T = const	A _T A = νRTln(V₂/V₁)	0	A _T
Изохорный V = const	0	$\frac{i}{2} ν R Δ T$	$\frac{i}{2} ν R Δ T$
Изобарный p = const	νR∆T, p∆V	$\frac{i}{2} ν R Δ T$ , $\frac{i}{2} p Δ V$	$\frac{(i + 2)}{2} ν R Δ T$ , $\frac{(i + 2)}{2} p Δ V$
Адиабатный Q = 0	$- \frac{i}{2} ν R Δ T$	$\frac{i}{2} ν R Δ T$	0

Примечание. В таблице использованы следующие обозначения: i — число степеней свободы газа (для одноатомного газа i = 3; для двухатомного газа i = 5; для трех- и многоатомного газа i = 6); ν — количество вещества (газа); ΔT — изменение температуры газа в результате процесса, ∆T = T ₂ − T ₁; T ₁ — температура газа в начале процесса; T ₂ — температура газа в конце процесса; ΔV — изменение объема газа в результате процесса, ∆V = V ₂ − V ₁; V ₁ — объем газа в начале процесса; V ₂ — объем газа в конце процесса; p — давление газа; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

При решении задач на вычисление коэффициента полезного действия произвольного цикла следует использовать следующий алгоритм:

1) построить график кругового процесса в координатах p(V);

2) выделить участки, соответствующие изопроцессам;

3) заполнить таблицу:

Номер участка	Название процесса	Работа, совершенная газом, A	Изменение внутренней энергии газа, ΔU	Количество теплоты, полученной газом, Q = A + ΔU	Знак теплоты (+ или –)
1–2
2–3
(n − 1) − n
n − 1

4) проанализировать, положительным или отрицательным является выражение для теплоты, полученной/отданной газом, в каждом процессе (в последней колонке таблицы указать соответствующий знак):

газ получает теплоту, если Q > 0;
газ отдает теплоту, если Q < 0;

5) рассчитать работу газа за цикл, суммируя алгебраически работы газа на каждом из участков (т.е. складывая значения работ из третьей колонки таблицы с учетом соответствующего знака):

A = A ₁₂ + A ₂₃ + ... + A _n1;

6) найти теплоту, полученную газом за цикл Q _получ, суммируя только те значения Q, которые являются положительными;

7) рассчитать коэффициент полезного действия для рассмотренного цикла по формуле

$η = \frac{A}{Q_{получ}} \cdot 100 %$ .

Пример 12. Идеальный одноатомный газ в идеальной тепловой машине совершает циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Максимальное давление газа в 4,00 раза больше минимального. Максимальный объем газа в 6,00 раз больше минимального. Определить коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины.

Решение. На рисунке изображен циклический процесс, происходящий с определенной массой идеального одноатомного газа, в координатах p(V). Процесс состоит из двух изохор и двух изобар:

1–2 — изохора (V ₁ = const);

2–3 — изобара (p ₂ = const);

3–4 — изохора (V ₂ = const);

4–1 — изобара (p ₁ = const).

Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–4–1, изображенного на рисунке, определяется формулой

$η = \frac{A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}}{Q_{получ}} \cdot 100 %$ ,

где A ₁₂ — работа, совершаемая газом на участке 1–2; A ₂₃ — работа, совершаемая газом на участке 2–3; A ₃₄ — работа, совершаемая газом на участке 3–4; A ₄₁ — работа, совершаемая газом на участке 4–1; Q _получ — количество теплоты, полученной газом за цикл.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

участок 1–2 (изохора) —

Q ₁₂ = A ₁₂ + ∆U ₁₂,

где A ₁₂ — работа газа при изохорном процессе на участке 1–2, A ₁₂ = 0; ΔU ₁₂ — изменение внутренней энергии газа на участке 1–2, ∆U ₁₂ = = 1,5νR(T ₂ − T ₁); ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная; T ₁ — начальная температура газа на участке 1–2; T ₂ — конечная температура газа на участке 1–2;

участок 2–3 (изобара) —

Q ₂₃ = A ₂₃ + ∆U ₂₃,

где A ₂₃ — работа газа при изобарном процессе на участке 2–3, A ₂₃ = p ₂(V ₂ − V ₁); p ₂ — давление газа на участке 2–3; V ₁ — начальный объем газа на участке 2–3; V ₂ — конечный объем газа на участке 2–3; ΔU ₂₃ — изменение внутренней энергии газа на участке 2–3, ∆U ₂₃ = = 1,5νR(T ₃ − T ₂); T ₂ — начальная температура газа на участке 2–3; T ₃ — конечная температура газа на участке 2–3;

участок 3–4 (изохора) —

Q ₃₄ = A ₃₄ + ∆U ₃₄,

где A ₃₄ — работа газа при изохорном процессе на участке 3–4, A ₃₄ = 0; ΔU ₃₄ — изменение внутренней энергии газа на участке 3–4, ∆U ₃₄ = = 1,5νR(T ₄ − T ₃); T ₃ — начальная температура газа на участке 3–4; T ₄ — конечная температура газа на участке 3–4;

участок 4–1 (изобара) —

Q ₄₁ = A ₄₁ + ∆U ₄₁,

где A ₄₁ — работа газа при изобарном процессе на участке 4–1, A ₄₁ = p ₁(V ₁ − V ₂); p ₁ — давление газа на участке 4–1; V ₂ — начальный объем газа на участке 4–1; V ₁ — конечный объем газа на участке 4–1; ΔU ₄₁ — изменение внутренней энергии газа на участке 4–1, ∆U ₄₁ = = 1,5νR(T ₁ − T ₄); T ₄ — начальная температура газа на участке 4–1; T ₁ — конечная температура газа на участке 4–1.

Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3, так как именно на этих участках количество теплоты является положительным. Следовательно, полученное за цикл количество теплоты определяется формулой

$Q_{получ} = Q_{12} + Q_{23} = 1,5 ν R (T_{2} - T_{1}) + p_{2} (V_{2} - V_{1}) + 1,5 ν R (T_{3} - T_{2})$ .

После преобразований получим

$Q_{получ} = p_{2} (V_{2} - V_{1}) + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})$ .

Коэффициент полезного действия цикла

$η = \frac{p_{2} (V_{2} - V_{1}) + p_{1} (V_{1} - V_{2})}{p_{2} (V_{2} - V_{1}) + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %$ .

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для состояний идеального газа, обозначенных на графике точками 1 и 3:

p ₁V ₁ = νRT ₁, p ₂V ₂ = νRT ₃.

В выражении для коэффициента полезного действия произведем соответствующую замену, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$η = \frac{p_{2} V_{2} - p_{2} V_{1} + p_{1} V_{1} - p_{1} V_{2}}{2,5 p_{2} V_{2} - p_{2} V_{1} - 1,5 p_{1} V_{1}} \cdot 100 %$ .

Выполним почленное деление числителя и знаменателя на произведение (p ₁V ₁):

$η = \frac{\frac{p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}} - \frac{p_{2}}{p_{1}} + 1 - \frac{V_{2}}{V_{1}}}{\frac{2,5 p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}} - \frac{p_{2}}{p_{1}} - 1,5} \cdot 100 %$ .

С учетом того, что p ₁ и V ₁ являются минимальными значениями давления и объема газа, а p ₂ и V ₂ — максимальными, выполним подстановку:

p ₂ = 4,00p ₁, V ₂ = 6,00V ₁.

Искомый коэффициент полезного действия составит

$η = \frac{4,00 \cdot 6,00 - 4,00 + 1,00 - 6,00}{2,5 \cdot 4,00 \cdot 6,00 - 4,00 - 1,50} \cdot 100 % = 27,5$ .

Пример 13. Рабочим веществом идеальной тепловой машины является идеальный одноатомный газ. Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–1 равен 30 %, а коэффициент полезного действия цикла 1–3–4–1 равен 40 %. Определить коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1.

Решение. 1. Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–4–1 определяется формулой

$η = \frac{A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}}{Q_{получ}} \cdot 100 %$ ,

где A ₁₂ — работа, совершаемая газом на участке 1–2; A ₂₃ — работа, совершаемая газом на участке 2–3; A ₃₄ — работа, совершаемая газом на участке 3–4; A ₄₁ — работа, совершаемая газом на участке 4–1; Q _получ — количество теплоты, полученной газом за цикл.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

участок 1–2 —

Q ₁₂ = A ₁₂ + ∆U ₁₂ = A ₁₂ + 1,5νR(T ₂ − T ₁) > 0,

где ΔU ₁₂ — изменение внутренней энергии газа на участке 1–2, ∆U ₁₂ = = 1,5νR(T ₂ − T ₁); ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная; T ₁ — начальная температура газа на участке 1–2; T ₂ — конечная температура газа на участке 1–2;

участок 2–3 —

Q ₂₃ = A ₂₃ + ∆U ₂₃ = A ₂₃ + 1,5νR(T ₃ − T ₂) > 0,

где ΔU ₂₃ — изменение внутренней энергии газа на участке 2–3, ∆U ₂₃ = = 1,5νR(T ₃ − T ₂); T ₂ — начальная температура газа на участке 2–3; T ₃ — конечная температура газа на участке 2–3;

участок 3–4 —

Q ₃₄ = A ₃₄ + ∆U ₃₄ = A ₃₄ + 1,5νR(T ₄ − T ₃) < 0,

где ΔU ₃₄ — изменение внутренней энергии газа на участке 3–4; ∆U ₃₄ = = 1,5νR(T ₄ − T ₃); T ₃ — начальная температура газа на участке 3–4; T ₄ — конечная температура газа на участке 3–4;

участок 4–1 —

Q ₄₁ = A ₄₁ + ∆U ₄₁ = A ₄₁ + 1,5νR(T ₁ − T ₄) < 0,

где ΔU ₄₁ — изменение внутренней энергии газа на участке 4–1, ∆U ₄₁ = = 1,5νR(T ₁ − T ₄); T ₄ — начальная температура газа на участке 4–1; T ₁ — конечная температура газа на участке 4–1.

Газ получает теплоту на участках 1–2 и 2–3, так как Q ₁₂ и Q ₂₃ являются положительными. Следовательно, полученное за цикл количество теплоты определяется формулой

$Q_{получ} = Q_{12} + Q_{23} = A_{12} + 1,5 ν R (T_{2} - T_{1}) + A_{23} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{2})$ .

После преобразований имеем:

Q _получ = A ₁₂ + A ₂₃ + 1,5νR(T ₃ − T ₁).

Коэффициент полезного действия цикла

$η = \frac{A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}}{A_{12} + A_{23} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %$ .

Установим связь входящих в формулу величин с коэффициентами полезного действия на участках 1–2–3–1 и 1–3–4–1.

2. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу 1–2–3–1.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

участок 1–2 —

$Q_{12} = A_{12} + Δ U_{12} = A_{12} + 1,5 ν R (T_{2} - T_{1}) > 0$ ;

участок 2–3 —

$Q_{23} = A_{23} + Δ U_{23} = A_{23} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{2}) > 0$ ;

участок 3–1 —

$Q_{31} = A_{31} + Δ U_{31} = A_{31} + 1,5 ν R (T_{1} - T_{3}) < 0$ ,

где ΔU ₃₁ — изменение внутренней энергии газа на участке 3–1, ∆U ₃₁ = = 1,5νR(T ₁ − T ₃); T ₃ — начальная температура газа на участке 3–1; T ₁ — конечная температура газа на участке 3–1.

Коэффициент полезного действия цикла 1–2–3–1:

$η_{1} = \frac{A_{12} + A_{23} + A_{31}}{A_{12} + A_{23} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %$ .

3. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу 1–3–4–1.

Запишем первое начало термодинамики для каждого участка:

участок 1–3 —

$Q_{13} = A_{13} + Δ U_{13} = A_{13} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1}) > 0$ ,

где ΔU ₁₃ — изменение внутренней энергии газа на участке 1–3, ∆U ₁₃ = = 1,5νR(T ₃ − T ₁); T ₁– начальная температура газа на участке 1–3; T ₃ — конечная температура газа на участке 1–3;

участок 3–4 —

$Q_{34} = A_{34} + Δ U_{34} = A_{34} + 1,5 ν R (T_{4} - T_{3}) < 0$ ;

участок 4–1 —

$Q_{41} = A_{41} + Δ U_{41} = A_{41} + 1,5 ν R (T_{1} - T_{4}) < 0$ .

Коэффициент полезного действия цикла 1–3–4–1:

$η_{2} = \frac{A_{13} + A_{34} + A_{41}}{A_{13} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %$ .

Выражения для КПД образуют систему:

$\begin{array}{l} η = \frac{A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}}{A_{12} + A_{23} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %, \\ η_{1} = \frac{A_{12} + A_{23} + A_{31}}{A_{12} + A_{23} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %, \\ η_{2} = \frac{A_{13} + A_{34} + A_{41}}{A_{13} + 1,5 ν R (T_{3} - T_{1})} \cdot 100 %, \end{array}}$

которую необходимо решить относительно η.

Из второго уравнения системы следует

$A_{12} + A_{23} = \frac{1,5 ν R η_{1} (T_{3} - T_{1}) - A_{31}}{1 - η_{1}}$ ,

а из третьего —

$A_{13} + A_{34} = 1,5 ν R η_{2} (T_{3} - T_{1}) - A_{13} (1 - η_{2})$ ,

где η₁ и η₂ представлены в долях.

Подставим полученные уравнения в первое уравнение системы и преобразуем выражение

$η = \frac{(η_{1} + η_{2} - η_{1} η_{2}) (1,5 ν R (T_{3} - T_{1}) + A_{13})}{(1,5 ν R (T_{3} - T_{1}) - A_{31})} \cdot 100 %$ .

С учетом

A ₁₃ = −A ₃₁

получим

$η = (η_{1} + η_{2} - η_{1} η_{2}) \cdot 100 %$ .

Вычислим:

$η = (0,3 + 0,4 - 0,3 \cdot 0,4) \cdot 100 % = 58 %$ .

КПД тепловой машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1, составляет 58 %.

Физика