Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

5.6. Аналитическое описание газовых процессов

5.6.1. Аналитическое описание газовых процессов

Изменения состояния идеального газа (или смеси идеальных газов) не ограничиваются изопроцессами.

Для идеального газа (или смеси газов) справедливо следующее:

любое состояние может быть описано уравнением Менделеева — Клапейрона

pV = νRT,

где p — давление газа (или смеси газов); V — объем газа (или смеси газов); ν — количество вещества; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (или смеси газов);

любое изменение состояния может быть представлено в виде одной из зависимостей:

p = p(V), p = p(T), V = V(T).

Использование уравнения состояния и одной из аналитических зависимостей позволяет рассчитать любой параметр газа или изменение этого параметра, независимо от того, какой процесс происходит в идеальном газе.

Если в условии задачи закон, по которому изменяется состояние газа, задан в виде одной из зависимостей

p = p(V), p = p(T), V = V(T),

то для определения параметров газа целесообразно пользоваться следующим алгоритмом:

1) выяснить, между какими параметрами газа следует установить зависимость;

2) выяснить, какой из параметров газа не фигурирует в вопросе к задаче, т.е. является «лишним»;

3) выразить «лишний» параметр из уравнения состояния;

4) подставить выражение для «лишнего» параметра в заданный в задаче закон;

5) записать полученное выражение в виде тождества для двух состояний газа;

6) выразить искомый параметр или отношение параметров.

Для преобразования зависимости между параметрами газа, заданной в условии задачи, к нужному виду целесообразно воспользоваться таблицей:

Зависимость, предложенная в условии задачи	Зависимость, которую следует установить	«Лишний» параметр
1	2	3
p = p(V)	p(T)	$V = \frac{ν R T}{p}$
p = p(V)	V(T)	$p = \frac{ν R T}{V}$
p = p(T)	p(V)	$T = \frac{p V}{ν R}$
p = p(T)	V(T)	$p = \frac{ν R T}{V}$
V = V(T)	p(V)	$T = \frac{p V}{ν R}$
V = V(T)	p(T)	$V = \frac{ν R T}{p}$

При работе с таблицей необходимо:

в столбце 1 найти зависимость, предложенную в условии задачи;
в столбце 2 (в той же строке) найти зависимость, которую следует установить;
в столбце 3 (в той же строке) найти «лишний» параметр;
вернуться к зависимости в столбце 1 и подставить в нее «лишний» параметр.

Пример 28. Уравнение процесса, происходящего с данной массой идеального газа, описывается законом: pT ² = const, где p — давление в паскалях; T — температура в кельвинах. В начале процесса газ занимает объем 24 л. В результате процесса давление газа уменьшается в два раза. Найти объем газа в конце процесса.

Решение. В условии задачи задана зависимость между давлением и температурой p = p(T):

pT ² = const,

где p — давление; T — температура.

Для того, чтобы найти объем газа в конце процесса, воспользуемся алгоритмом.

1. Объем газа изменяется из-за уменьшения давления; следовательно, необходимо установить зависимость давления газа от его объема:

p = p(V).

2. «Лишним» параметром (т.е. отсутствующим в вопросе задачи) является температура T.

3. Выразим «лишний» параметр из уравнения состояния идеального газа:

$T = \frac{p V}{ν R}$ ,

где ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

4. Подставим выражение для температуры в заданный в условии закон:

$p {(\frac{p V}{ν R})}^{2} = const$ ,

или, после упрощения,

$\frac{p^{3} V^{2}}{{(ν R)}^{2}} = const$ .

5. Запишем полученное выражение в виде тождества для двух состояний газа:

$\frac{p_{1}^{3} V_{1}^{2}}{{(ν R)}^{2}} = \frac{p_{2}^{3} V_{2}^{2}}{{(ν R)}^{2}}$ .

6. Выразим искомую величину:

$V_{2} = V_{1} \sqrt{{(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{3}}$ .

Преобразуем выражение с учетом условия задачи (p ₁ = 2p ₂):

$V_{2} = 2 V_{1} \sqrt{2}$

и произведем вычисление:

$V_{2} = 2 \cdot 24 \sqrt{2} \approx 68$ л.

Физика