Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

5.5. Смесь идеальных газов

5.5.2. Смесь идеальных газов (идеальный газ) в сообщающихся баллонах

Если идеальные газы находятся в сообщающихся баллонах, разделенных краном, то при открытии крана газы в баллонах смешиваются между собой и каждый из них заполняет объем обоих баллонов.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана некоторые параметры становятся одинаковыми:

давление газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

p = const;

газ (или смесь газов) после открытия крана занимает весь предоставленный ему объем, т.е. объем обоих сосудов:

V = V ₁ + V ₂,

где V ₁ — объем первого баллона; V ₂ — объем второго баллона;

температура газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

T = const.

плотность газа ρ и его концентрация n в обоих баллонах становятся одинаковыми:

ρ = const, n = const,

Если баллоны имеют одинаковый объем, то массы газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми:

${m^{'}}_{1} = {m^{'}}_{2} = m^{'} = \frac{m_{1} + m_{2}}{2}$ ,

где ${m^{'}}_{1}$ — масса газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; ${m^{'}}_{2}$ — масса газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; m′ — масса газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; m ₁ — масса газа в первом баллоне до открытия крана; m ₂ — масса газа во втором баллоне до открытия крана.

Масса газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

изменение массы газа в первом баллоне

$Δ m_{1} = | {m^{'}}_{1} - m_{1} | = | \frac{m_{1} + m_{2}}{2} - m_{1} | = \frac{| m_{2} - m_{1} |}{2}$ ;

изменение массы газа во втором баллоне

$Δ m_{2} = | {m^{'}}_{2} - m_{2} | = | \frac{m_{1} + m_{2}}{2} - m_{2} | = \frac{| m_{1} - m_{2} |}{2}$ .

Изменения массы газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы:

$Δ m_{1} = Δ m_{2} = Δ m = \frac{| m_{2} - m_{1} |}{2}$ ,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большей массой газа — столько же газа пришло в баллон с меньшей массой.

Если баллоны имеют одинаковый объем, то количества газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми:

${ν^{'}}_{1} = {ν^{'}}_{2} = ν^{'} = \frac{ν_{1} + ν_{2}}{2}$ ,

где ${ν^{'}}_{1}$ — количество газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; ${ν^{'}}_{2}$ — количество газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; ν′ — количество газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; ν₁ — количество газа в первом баллоне до открытия крана; ν₂ — количество газа во втором баллоне до открытия крана.

Количество газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

изменение количества газа в первом баллоне

$Δ ν_{1} = | {ν^{'}}_{1} - ν_{1} | = | \frac{ν_{1} + ν_{2}}{2} - ν_{1} | = \frac{| ν_{2} - ν_{1} |}{2}$ ;

изменение количества газа во втором баллоне

$Δ ν_{2} = | {ν^{'}}_{2} - ν_{2} | = | \frac{ν_{1} + ν_{2}}{2} - ν_{2} | = \frac{| ν_{1} - ν_{2} |}{2}$ .

Изменения количества газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы:

$Δ ν_{1} = Δ ν_{2} = Δ ν = \frac{| ν_{2} - ν_{1} |}{2}$ ,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большим количеством газа — столько же газа пришло в баллон с меньшим количеством.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана давление становится одинаковым:

p = const

и определяется по закону Дальтона (для смеси газов) —

p = p ₁ + p ₂,

где p ₁, p ₂ — парциальные давления компонентов смеси.

Парциальные давления компонентов смеси могут быть рассчитаны следующим образом:

с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона; тогда давление определяется формулой

$p = \frac{(ν_{1} + ν_{2}) R T}{V_{1} + V_{2}}$ ,

где ν₁ — количество вещества первого компонента смеси; ν₂ — количество вещества второго компонента смеси; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура смеси; V ₁ — объем первого баллона; V ₂ — объем второго баллона;

с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории; тогда давление определяется формулой

$p = \frac{(N_{1} + N_{2}) k T}{V_{1} + V_{2}}$ ,

где N ₁ — количество молекул первого компонента смеси; N ₂ — количество молекул второго компонента смеси; k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10⁻²³ Дж/К.

Пример 26. Определить среднюю молярную массу смеси газов, состоящей из 3,0 кг водорода, 1,0 кг гелия и 8,0 кг кислорода. Молярные массы водорода, гелия и кислорода равны 2,0, 4,0 и 32 г/моль соответственно.

Решение. Средняя молярная масса смеси определяется формулой

$〈 M 〉 = \frac{m}{ν}$ ,

где m — масса смеси; ν — количество вещества в смеси.

Массу смеси найдем как сумму масс —

m = m ₁ + m ₂ + m ₃,

где m ₁ — масса водорода; m ₂ — масса гелия; m ₃ — масса кислорода.

Аналогично найдем количество вещества —

ν = ν₁ + ν₂ + ν₃,

где ν₁ — количество водорода в смеси, ν₁ = m ₁/M ₁; M ₁ — молярная масса водорода; ν₂ — количество гелия в смеси, ν₂ = m ₂/M ₂; M ₂ — молярная масса гелия; ν₃ — количество кислорода в смеси, ν₃ = m ₃/M ₃; M ₃ — молярная масса кислорода.

Подстановка выражений для массы и количества вещества в исходную формулу дает

$〈 M 〉 = \frac{m_{1} + m_{2} + m_{3}}{ν_{1} + ν_{2} + ν_{3}} = \frac{m_{1} + m_{2} + m_{3}}{\frac{m_{1}}{M_{1}} + \frac{m_{2}}{M_{2}} + \frac{m_{3}}{M_{3}}}$ .

Произведем вычисление:

$〈 M 〉 = \frac{3,0 + 1,0 + 8,0}{\frac{3,0}{2,0 \cdot 10^{- 3}} + \frac{1,0}{4,0 \cdot 10^{- 3}} + \frac{8,0}{32 \cdot 10^{- 3}}} =$

$= 6,0 \cdot 10^{- 3} кг/моль = 6,0 г/моль$ .

Пример 27. Плотность смеси газов, состоящей из гелия и водорода, при давлении 3,50 МПа и температуре 300 К, равна 4,50 кг/м³. Определить массу гелия в 4,00 м³ смеси. Молярные массы водорода и гелия равны 0,002 и 0,004 кг/моль соответственно.

Решение. Чтобы найти массу гелия m ₂ в указанном объеме, необходимо определить плотность гелия в смеси:

m ₂ = ρ₂V,

где ρ² — плотность гелия; V — объем смеси газов.

Плотность смеси определяется как сумма плотностей водорода и гелия:

ρ = ρ₁ + ρ₂,

где ρ₁ — плотность водорода.

Однако записанная формула содержит две неизвестные величины — плотности водорода и гелия. Для определения указанных величин требуется еще одно уравнение, в которое входят плотности водорода и гелия.

Запишем закон Дальтона для давления смеси газов:

p = p ₁ + p ₂,

где p ₁ — давление водорода; p ₂ — давление гелия.

Для определения давлений газов запишем уравнение состояния в следующей форме:

для водорода

$p_{1} = \frac{ρ_{1} R T}{M_{1}}$ ,

для гелия

$p_{2} = \frac{ρ_{2} R T}{M_{2}}$ ,

где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура смеси; M ₁ — молярная масса водорода; M ₂ — молярная масса гелия.

Подстановка выражений для давлений водорода и гелия в закон Дальтона дает

$p = \frac{ρ_{1} R T}{M_{1}} + \frac{ρ_{2} R T}{M_{2}}$ .

Получено еще одно уравнение с двумя неизвестными величинами — плотностью водорода и плотностью гелия.

Формулы для расчета плотности и давления смеси образуют систему уравнений:

$\begin{array}{l} ρ = ρ_{1} + ρ_{2}, \\ p = \frac{ρ_{1} R T}{M_{1}} + \frac{ρ_{2} R T}{M_{2}}, \end{array}}$

которую требуется решить относительно плотности гелия.

Для этого выразим плотности водорода из первого и второго уравнений

$\begin{array}{l} ρ_{1} = ρ - ρ_{2}, \\ ρ_{1} = \frac{M_{1}}{R T} (p - \frac{ρ_{2} R T}{M_{2}}) \end{array}}$

и приравняем их правые части:

$ρ - ρ_{2} = \frac{M_{1}}{R T} (p - \frac{ρ_{2} R T}{M_{2}})$ .

Преобразование дает:

$ρ_{2} = \frac{M_{2}}{M_{2} - M_{1}} (ρ - p \frac{M_{1}}{R T})$ .

Подставим полученное выражение в формулу для вычисления массы гелия

$m_{2} = \frac{M_{2} V}{M_{2} - M_{1}} (ρ - p \frac{M_{1}}{R T})$

и произведем расчет:

$m_{2} = \frac{0,004 \cdot 4,00}{0,004 - 0,002} (4,50 - 3,50 \cdot 10^{6} \frac{0,002}{8,31 \cdot 300}) \approx 13,6$ кг.

Масса гелия в указанном объеме смеси составляет 13,6 кг.

Физика