Физика
Импульсом обладают только движущиеся тела.
Импульс тела вычисляется по формуле
,
где m — масса тела; — скорость тела.
В Международной системе единиц импульс тела измеряется в килограммах, умноженных на метр, деленный на секунду (1 кг ⋅ м/с).
Импульс системы тел (рис. 3.1) есть векторная сумма импульсов тел, входящих в эту систему:
,
где — импульс первого тела (m1 — масса первого тела; — скорость первого тела); — импульс второго тела (m2 — масса второго тела; — скорость второго тела) и т.п.
Для вычисления импульса системы тел целесообразно применять следующий алгоритм:
1) выбрать систему координат и найти проекции импульсов каждого тела на координатные оси:
P1x, P2x, ..., PNx;
P1y, P2y, ..., PNy,
где P1x, ..., PNx; P1y, ..., PNy —проекции импульсов тел на координатные оси;
2) рассчитать проекции импульса системы тел на координатные оси суммированием соответствующих проекций импульсов каждого из тел:
Px = P1x + P2x + ... + PNx;
Py = P1y + P2y + ... + PNy;
3) вычислить модуль импульса системы по формуле
.
Пример 1. На горизонтальной поверхности покоится тело. На него начинает действовать сила 30 Н, направленная параллельно поверхности. Рассчитать модуль импульса тела через 5,0 с после начала движения, если сила трения равна 10 Н.
Решение. Модуль импульса тела зависит от времени и определяется произведением
P(t) = mv,
где m — масса тела; v — модуль скорости тела в момент времени t0 = 5,0 c.
При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью (v0 = 0) величина скорости тела зависит от времени по закону
v(t) = at,
где a — модуль ускорения; t — время.
Подстановка зависимости v(t) в формулу для определения модуля импульса дает выражение
P(t) = mat.
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению произведения ma.
Для этого запишем основной закон динамики (второй закон Ньютона) в виде:
,
или в проекциях на координатные оси
где F — модуль силы, приложенной к телу в горизонтальном направлении; Fтр — модуль силы трения; N — модуль силы нормальной реакции опоры; mg — модуль силы тяжести; g — модуль ускорения свободного падения.
Силы, действующие на тело, и координатные оси изображены на рисунке.
Из первого уравнения системы следует, что искомое произведение определяется разностью
ma = F − Fтр.
Следовательно, зависимость величины импульса тела от времени определяется выражением
P(t) = (F − Fтр)t,
а его значение в указанный момент времени t0 = 5 c — выражением
кг ⋅ м/с.
Пример 2. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x2 + y2 = 64 под действием центростремительной силы, величина которой равна 18 Н. Масса тела составляет 3,0 кг. Считая, что координаты x и y заданы в метрах, найти величину импульса тела.
Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 8,0 м. Согласно условию задачи на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.
Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает только нормальным (центростремительным) ускорением. Наличие постоянного центростремительного ускорения не влияет на величину скорости тела; следовательно, движение тела по окружности происходит с постоянной скоростью.
Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.
Величина центростремительной силы определяется формулой
,
где m — масса тела; v — модуль скорости тела; R — радиус окружности, по которой движется тело.
Выразим отсюда модуль скорости тела:
и подставим полученное выражение в формулу, определяющую величину импульса:
.
Произведем вычисление:
кг ⋅ м/с.
Пример 3. Два тела движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Масса первого тела равна 3,0 кг, а величина его скорости составляет 2,0 м/с. Масса второго тела — 2,0 кг, а величина его скорости — 3,0 м/с. Найти модуль импульса системы тел.
Решение. Тела, движущиеся во взаимно перпендикулярных направлениях, изобразим в системе координат, как показано на рисунке:
- вектор скорости первого тела направим вдоль положительного направления оси Ox;
- вектор скорости второго тела направим вдоль положительного направления оси Oy.
Для расчета модуля импульса системы тел воспользуемся алгоритмом:
1) запишем проекции импульсов первого и второго тел на координатные оси:
P1x = m1v1; P2x = 0;
P1y = 0, P2y = m2v2,
где m1 — масса первого тела; v1 — величина скорости первого тела; m2 — масса второго тела; v2 — величина скорости второго тела;
2) найдем проекции импульса системы на координатные оси, суммируя соответствующие проекции каждого из тел:
Px = P1x + P2x = P1x = m1v1;
Py = P1y + P2y = P2y = m2v2;
3) вычислим величину импульса системы тел по формуле
кг ⋅ м/с.