Физика

Пример 28. При температуре 20 °С длина алюминиевого стержня равна 1000,50 мм. Коэффициент линейного расширения алюминия равен 0,000025 1/К. Определить длину алюминиевого стержня при 0 °С.

Решение. При нагревании длина стержня увеличивается и рассчитывается по формуле

l = l ₀(1 + αt),

где l — длина алюминиевого стержня при температуре t = 20 °С; l ₀ — длина стержня при 0 °С; α — коэффициент линейного расширения алюминия.

Выразим из записанной формулы искомую величину — длину стержня при 0 °С —

$l_0=\frac{l}{1+\alpha t}$.

Вычислим:

$l_0=\frac{\mathrm{1000,50}}{1+\mathrm{0,000025}\cdot 20}=1000\text{ мм}=\mathrm{1,000}$ м.

Алюминиевый стержень при нуле градусов Цельсия имеет длину, равную 1 м.

Пример 29. Первый стержень изготовлен из материала с коэффициентом линейного расширения 5,0 ⋅ 10⁻⁶ 1/К и при температуре 0,0 °С имеет длину 1,2 м. Второй стержень изготовлен из материала с коэффициентом линейного расширения 25 ⋅ 10⁻⁶ 1/К и имеет при указанной температуре длину 1,8 м. Определить коэффициент линейного расширения стержня, полученного соединением концов первого и второго стержней.

Решение. Длина составного стержня зависит от его температуры по закону

L = L ₀(1 + αt),

где L ₀ — длина стержня при температуре 0 °С; α — температурный коэффициент линейного расширения; t — температура стержня (в градусах Цельсия).

Длина составного стержня при 0 °C является суммой:

L ₀ = l ₀₁ + l ₀₂,

где l ₀₁ — длина первого стержня при t = 0 °C, l ₀₁ = 1,2 м; l ₀₂ — длина второго стержня при t = 0 °C, l ₀₂ = 1,8 м.

Длина составного стержня при некоторой температуре также является суммой:

L = l ₁ + l ₂,

где l ₁ — длина первого стержня при некоторой температуре t; l ₂ — длина второго стержня при указанной температуре.

Длины первого и второго стержней при некоторой температуре определяются законами линейного расширения:

• для первого стержня —

l ₁ = l ₀₁(1 + α₁t),

где α₁ — температурный коэффициент линейного расширения материала, из которого изготовлен первый стержень, α₁ = 5,0 ⋅ 10⁻⁶ 1/К;

• для второго стержня —

l ₂ = l ₀₂(1 + α₂t),

где α₂ — температурный коэффициент линейного расширения материала, из которого изготовлен второй стержень, α₂ = 25 ⋅ 10⁻⁶ 1/К.

Длина составного стержня при некоторой температуре определяется формулой

$L=l_{01}(1+{\alpha }_{1}t)+l_{02}(1+{\alpha }_{2}t)$.

Подставим выражения для L ₀ и L в исходную формулу:

$l_{01}(1+{\alpha }_{1}t)+l_{02}(1+{\alpha }_{2}t)=(l_{01}+l_{02})(1+\alpha t)$

и выразим искомую величину — коэффициент линейного расширения составного стержня —

$\alpha =\frac{l_{01}{\alpha }_1+l_{02}{\alpha }_2}{l_{01}+l_{02}}$.

Выполним расчет:

$\alpha =\frac{\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{5,0}\cdot {10}^{-6}+\mathrm{1,8}\cdot 25\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,2}+\mathrm{1,8}}=\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-5}$ 1/К.

Температурный коэффициент линейного расширения составного стержня равен 1,7 ⋅ 10⁻⁵ 1/К.