Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

12.4. Энергия релятивистской частицы

12.4.1. Энергия релятивистской частицы

Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:

E = E ₀ + T,

где E — полная энергия движущейся частицы; E ₀ — энергия покоя указанной частицы; T — ее кинетическая энергия.

Эквивалентность массы и энергии (формула Эйнштейна) позволяет определить энергию покоя релятивистской частицы и ее полную энергию следующим образом:

энергия покоя —

E ₀ = m ₀c ²,

где m ₀ — масса покоя релятивистской частицы (масса частицы в собственной системе отсчета); c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10⁸ м/с;

полная энергия —

E = mc ²,

где m — масса движущейся частицы (масса частицы, движущейся относительно наблюдателя с релятивистской скоростью v); c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

Связь между массами m ₀ (масса покоящейся частицы) и m (масса движущейся частицы) определяется выражением

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ ,

где m ₀ — масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица покоится; m — масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью v; c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется разностью:

T = E − E ₀,

где E — полная энергия движущейся частицы, E = mc ²; E ₀ — энергия покоя указанной частицы, E ₀ = m ₀c ²; массы m ₀ и m связаны формулой

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ ,

где m ₀ — масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица покоится; m — масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью v; c — скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10⁸ м/с.

В явном виде кинетическая энергия релятивистской частицы определяется формулой

$T = m c^{2} - m_{0} c^{2} = m_{0} c^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - 1)$ .

Пример 6. Скорость релятивистской частицы составляет 80 % от скорости света. Определить, во сколько раз полная энергия частицы больше ее кинетической энергии.

Решение. Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:

E = E ₀ + T,

где E — полная энергия движущейся частицы; E ₀ — энергия покоя указанной частицы; T — ее кинетическая энергия.

Отсюда следует, что кинетическая энергия является разностью

T = E − E ₀.

Искомой величиной является отношение

$\frac{E}{T} = \frac{E}{E - E_{0}}$ .

Для упрощения расчетов найдем величину, обратную искомой:

$\frac{T}{E} = \frac{E - E_{0}}{E} = 1 - \frac{E_{0}}{E}$ ,

где E ₀ = m ₀c ²; E = mc ²; m ₀ — масса покоя; m — масса движущейся частицы; c — скорость света в вакууме.

Подстановка выражений для E ₀ и E в отношение (T/E) дает

$\frac{T}{E} = 1 - \frac{m_{0} c^{2}}{m c^{2}} = 1 - \frac{m_{0}}{m}$ .

Связь между массами m ₀ и m определяется формулой

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ ,

где v — скорость релятивистской частицы, v = 0,80c.

Выразим отсюда отношение масс:

$\frac{m_{0}}{m} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

и подставим его в (T/E):

$\frac{T}{E} = 1 - \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ .

Рассчитаем:

$\frac{T}{E} = 1 - \sqrt{1 - \frac{{(0,80 c)}^{2}}{c^{2}}} = 1 - 0,6 = 0,4$ .

Искомой величиной является обратное отношение

$\frac{E}{T} = \frac{1}{0,4} = 2,5$ .

Полная энергия релятивистской частицы при указанной скорости превышает ее кинетическую энергию в 2,5 раза.

Физика