Предметы

Физика

Динамика

2.2. Силы

2.2.5. Сила упругости

Теория Тренинг

Физика

Общий тест

2.2. Силы

2.2.5. Сила упругости

Силы упругости возникают при деформации тел.

Вычисление силы упругости производится по закону Гука:

F_упр = k∆x,

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; $Δ x = | l - l_{0} |$ — абсолютная деформация (растяжения или сжатия) пружины, l₀ — длина пружины в недеформированном состоянии, l — длина растянутой (или сжатой) пружины.

Направление силы упругости ${\vec{F}}_{упр}$ (рис. 2.9) противоположно направлению силы, вызывающей деформацию:

${\vec{F}}_{упр} = - \vec{F}$ .

Рис. 2.9

Относительная деформация определяется отношением:

$ε = \frac{Δ x}{l_{0}}$ или $ε = \frac{Δ x}{l_{0}} \cdot 100 %$ ,

где $Δ x = | l - l_{0} |$ — абсолютная деформация (растяжения или сжатия) пружины, l₀ — длина недеформированной пружины, l — длина растянутой (сжатой) пружины.

Коэффициент жесткости (упругости) k нескольких пружин одинаковой длины, но разной жесткости вычисляется для последовательного соединения по формуле (рис. 2.10)

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + ... + \frac{1}{k_{N}}$ ;

где k₁, k₂, ..., k_N — коэффициенты жесткости (упругости) этих пружин.

Рис. 2.10

Коэффициент жесткости (упругости) k нескольких пружин одинаковой длины, но разной жесткости (рис. 10), вычисляется для параллельного соединения по формуле (рис. 2.11)

k = k₁ + k₂ + ... + k_N,

где k₁, k₂, ..., k_N — коэффициенты жесткости (упругости) этих пружин.

Рис. 2.11

Для вычисления результирующих коэффициентов жесткости (упругости) параллельного и последовательного соединения одинаковых пружин удобно пользоваться формулами:

для последовательного соединения N одинаковых пружин с коэффициентами жесткости (упругости) k₀:
$k = \frac{k_{0}}{N}$ ;
для параллельного соединения N одинаковых пружин с коэффициентами жесткости (упругости) k₀:
k = k₀N.

Пример 16. При последовательном соединении трех пружин, коэффициенты жесткости которых относятся как 1 : 2 : 3, сила 12 Н вызвала растяжение системы на 4,0 см. Рассчитать коэффициенты жесткости указанных пружин.

Решение. Величина силы упругости, действующей на пружину, определяется формулой

F_упр = k_общ∆x,

где k_общ — коэффициент жесткости составной пружины; ∆x — указанное в условии задачи растяжение пружины.

Величина силы упругости, с другой стороны, совпадает с величиной приложенной силы:

F_упр = F.

Значение данной силы и величина растяжения пружины под действием этой силы позволяют рассчитать коэффициент жесткости составной пружины:

$k_{общ} = \frac{F}{Δ x} = \frac{12}{4,0 \cdot 10^{- 2}} = 300$ Н/м.

Для определения коэффициентов жесткости каждой пружины запишем их коэффициенты жесткости в следующем виде:

для первой пружины

k₁ = k;

для второй пружины

k₂ = 2k;

для третьей пружины

k₃ = 3k,

так как указанные коэффициенты по условию задачи соотносятся между собой как

k₁ : k₂ : k₃ = 1 : 2 : 3.

Для расчета величины k запишем формулу для коэффициента жесткости пружины, состоящей из трех последовательно соединенных пружин, и подставим в нее выражения k₁, k₂, k₃:

$\frac{1}{k_{общ}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{1}{k_{3}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{3 k} = \frac{11}{6 k}$ , или $k_{общ} = \frac{6 k}{11}$ .

Найденное ранее значение k_общ = 300 Н/м позволяет рассчитать k = 550 Н/м.

Тогда коэффициенты жесткости каждой из пружин имеют значения:

для первой пружины

k₁ = k = 550 Н/м;

для второй пружины

k₂ = 2k = 1100 Н/м;

для третьей пружины

k₃ = 3k = 1650 Н/м.

Пример 17. Вычислить абсолютную деформацию пружины с коэффициентом жесткости 100 Н/м, присоединенной к бруску, лежащему на горизонтальной поверхности, в момент начала скольжения бруска по поверхности. Сила, вызывающая скольжение бруска, прикладывается к пружине. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен 0,1. Масса бруска составляет 1,0 кг.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на брусок.

Абсолютную деформацию пружины рассчитаем по формуле

$Δ x = \frac{F_{упр}}{k}$ ,

где F_упр = F — модуль силы упругости, возникающей в пружине (величина силы упругости равна величине приложенной силы); k — коэффициент жесткости пружины.

Со стороны пружины на брусок действует сила, модуль которой совпадает с силой упругости:

$F^{'} = F_{упр} = F$ .

В момент начала скольжения величина силы трения равна силе, приложенной к бруску в направлении движения:

$F_{тр} = F^{'} = μ N$ ,

где µ — коэффициент трения; N = mg — модуль силы нормальной реакции опоры.

Поэтому величина силы упругости может быть вычислена по формуле

F_упр = µmg.

Из исходного уравнения следует, что величина деформации пружины в момент начала скольжения определяется выражением

$Δ x = \frac{μ m g}{k}$ .

Расчет позволяет определить ее значение:

$Δ x = \frac{0,1 \cdot 1,0 \cdot 10}{100} = 10^{- 2} м = 1,0 см$ .

Пример 18. Вычислить массу груза, подвешенного к пружине жесткостью 250 Н/м, если известно, что относительная деформация пружины составляет 25 %. Длину нерастянутой пружины считать равной 100 мм.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи рисунком.

Сила упругости определяется формулой

F_упр = k∆x,

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆x = l − l₀ — абсолютная деформация пружины (величина ее растяжения под действием груза); l₀ — длина недеформированной пружины; l — длина пружины в деформированном состоянии.

Из определения относительной деформации

$ε = \frac{Δ x}{l_{0}}$

следует, что

∆x = εl₀,

где ε = 0,25 — относительная деформация (в долях).

С учетом значения относительной деформации формула для вычисления силы упругости принимает вид:

$F_{упр} = k ε l_{0} = 0,25 k l_{0}$ .

С другой стороны, сила упругости, возникающая в пружине, численно равна весу тела, вызвавшего деформацию пружины:

F_упр = P = mg,

где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения.

Таким образом, имеем равенство

0,25kl₀ = mg,

позволяющее вычислить массу груза, подвешенного к пружине:

$m = \frac{0,25 k l_{0}}{g} = \frac{0,25 \cdot 250 \cdot 0,100}{10} = 0,625 кг = 625 г$ .